Por el teorema de fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de infelexion de la gráfica, como para ƒ(x) = x3 en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x2sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.
MÁXIMOS Y MíNIMOS
Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.
Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
- Por la definición en un entorno del punto.
- Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
- f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
- f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).
EJEMPLOS
- Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
- Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
- Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
Tomado de: http://www.juangordillo.com/derivadas/derivadas5.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico_(matem%C3%A1ticas)
No hay comentarios:
Publicar un comentario